（2006•南充）如图，经过点M（-1，2），N（1，-2）的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．（1）求b的值．（2）若OC2=OA•OB，试求抛物线的解析式．（3）在该抛物线的对称轴上是

Question

（2006•南充）如图，经过点M（-1，2），N（1，-2）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求b的值．
（2）若OC²=OA•OB，试求抛物线的解析式．
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将M，N两点的坐标代入抛物线解析式，得

a−b+c＝2，①

a+b+c＝−2．②

②-①，得
2b=-4
∴b=-2．

（2）由（1）b=-2，a+c=0
所以抛物线的解析式可写为y=ax²-2x-a
则C（0，-a）
设A（x₁，0），B（x₂，0）
则x₁，x₂是方程ax²-2x-a=0的二根
从而x₁x₂=-1
由所给图形可知OC=a，OA=-x₁，OB=x₂
∵OC²=OA•OB
∴a²=-x₁x₂
∴a²=1
∴a=1（a＞0）
∴抛物线解析式为y=x²-2x-1．

（3）在抛物线对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小．
∵AC长为定值
∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小
∵点A关于对称轴x=1的对称点是B，由几何知识知PA+PC=PB+PC，BC与对称轴的交点为所求点P．
由（2）知B（√(2)+1，0），C（0，-1），经过点B（√(2)+1，0），C（0，-1）的直线为y=（√(2)-1）x-1，
当x=1时，y=√(2)-2．
即P（1，√(2)-2）．