（2010•衡阳模拟）对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上

Question

（2010•衡阳模拟）对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与f2(x)＝loga(1)/(x−a)（a＞0且a≠1），f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．

Answer 1

（1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有

x−3a＞0

x−a＞0

a＞0且a≠1

要使f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：

a+2＞3a

a＞0且a≠1

所以0＜a＜1．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1(x)−f(x2)|≤1⇔|loga(x−3a)−loga(1)/(x−a)|≤1⇔|loga[(x−3a)(x−a)]|≤1⇔a≤(x−2a)2−a2≤(1)/(a)对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
设h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其对称轴x=2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，
⇔

a≤h(x)min

(1)/(a)≥h(x)max

⇔

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问题解析

（1）要使f₁（x）与f₂（x）有意义，则有

x−3a＞0

x−a＞0

a＞0且a≠1

，由此能求出a的取值范围．
（2）f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的⇔|f1(x)−f(x2)|≤1⇔|loga(x−3a)−loga(1)/(x−a)|≤1⇔|loga[(x−3a)(x−a)]|≤1⇔a≤(x−2a)2−a2≤(1)/(a)对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．由此入手能够推导出当(9−√(57))/(12)＜a＜1时，f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是非接近的．

名师点评

本题考点：

对数函数图象与性质的综合应用；函数恒成立问题．

考点点评：

本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．

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