（2007•湛江二模）有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另

Question

（2007•湛江二模）有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P_n．
（Ⅰ）求证：∀n∈N^*，点（P_n，P_n+1）恒在过定点（(5)/(9)，(5)/(9)），斜率为−(1)/(2)的直线上；
（Ⅱ）求数列{P_n}的通项公式P_n；
（Ⅲ）用记号S_n→m表示数列{Pn−(5)/(9)}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：
①第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为(2)/(6)＝(1)/(3)，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为(1)/(3)Pn．…（3分）
②第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为(5)/(6)，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为(5)/(6)(1−Pn)．
∴Pn+1＝(1)/(3)Pn+(5)/(6)(1−Pn)，变形得 Pn+1−(5)/(9)＝−(1)/(2)( Pn−(5)/(9) )．
∴点（P_n，P_n+1）恒在过定点（(5)/(9)，(5)/(9)），斜率为−(1)/(2)的直线上．…（6分）
（Ⅱ）P₀=1，P1＝(1)/(3)P0+(5)/(6)(1−P0)＝(1)/(3)，
又由（Ⅰ）知：(Pn+1−(5)/(9))/(Pn−(5)/(9))＝−(1)/(2)，
∴{Pn−(5)/(9)}是首项为P1−(5)/(9)＝(1)/(3)−(5)/(9)＝−(2)/(9)，公比为−(1)/(2)的等比数列，…（8分）
∴Pn−(5)/(9)＝−(2)/(9)•(

作业帮用户 2016-11-21 举报