（2010•肥城市模拟）为了对2007年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数

Question

（2010•肥城市模拟）为了对2007年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
（3）求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果．
参考数据：

.

x

＝77.5，

.

y

＝85，

.

z

＝81，

8

i＝1

(xi−

.

x

 )2≈1050，

8

i＝1

(yi−

.

y

 )2≈456，

8

i＝1

(zi−

.

z

 )2≈550，

8

i＝1

(xi−

.

x

 )(yi−

.

y

 )≈688，

8

i＝1

(xi−

.

x

 )(zi−

.

z

 )≈755，

8

i＝1

(yi−

̂

y

i)2≈7，

8

i＝1

(zi−

̂

z

i)2≈94，

1050

≈32.4，

456

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，
则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，
种数是C₄³A₃³（或A₄³），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，
种数是A₅⁵．根据乘法原理，满足条件的种数是C₄³A₃³A₅⁵． （2分）
这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A₈⁸． （5分）
故所求的概率P＝(C34A33A55)/(A88)＝(1)/(14)． （4分）

（2）变量y与x、z与x的相关系数分别是r＝(688)/(32.4×21.4)≈0.99、r′＝(755)/(32.4×23.5)≈0.99．
可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关．（6分）

（3）设y与x、z与x的线性回归方程分别是

̂

y

＝bx+a、

̂

z

＝b′x+a′．
根据所给的数据，可以计算出b＝(688)/(1050)＝0.65，a＝85−0.65*77.5＝34.63，b′＝(755)/(1050)＝0.72，a′＝81−0.72*77.5＝25.20．（8分）
所以y与x和z与x的回归方程分别是

̂

y

＝0.65x+34.63、

̂

z

＝0.72x+25.20．（11分）
又y与x、z与x的相关指数是R2＝1−(7)/(456)≈0.98、R′2＝1−(94)/(550)≈0.83． （11分）
故回归模型

̂

y

＝0.65x+34.63比回归模型

̂

z

＝0.72x+25.20的拟合的效果好．（12分）