lim(n次根号下(1+x)-1)/xx趋近于0

Question

lim(n次根号下(1+ x)-1)/x x趋近于0

Answer 1

解法一：原式=lim(x->0){[(1+x)-1]/[x(1+(1+x)^(1/n)+(1+x)^(2/n)+.+(1+x)^((n-1)/n))]}
(分子分母同乘1+(1+x)^(1/n)+(1+x)^(2/n)+.+(1+x)^((n-1)/n))
=lim(x->0){1/[1+(1+x)^(1/n)+(1+x)^(2/n)+.+(1+x)^((n-1)/n)]} (化简)
=1/[1+(1+0)^(1/n)+(1+0)^(2/n)+.+(1+0)^((n-1)/n)]
=1/n.
解法二：原式=lim(x->0){[(1+x)^(1/n-1)]/n} (0/0型极限,应用罗比达法则)
=[(1+0)^(1/n-1)]/n
=1/n.