有限域本原多项式的一道证明.m不是一个素数,证明并不是所有的首一m次不可约多项式都是本原多项式.

Question

有限域本原多项式的一道证明.
m不是一个素数,证明并不是所有的首一m次不可约多项式都是本原多项式.

Answer 1

若m是一个合数,则存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式.
证明:设m = qn,其中q > 1是m的最小质因数.由m是合数,有n > 1为m的最大真因数.
GF(p^m)的子域均形如GF(p^k),其中k为m的约数.
于是GF(p^m)的阶数最大的真子域就是GF(p^n).
考虑r = (p^m-1)/(p^q-1) = (p^(qn)-1)/(p^q-1) = p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1为整数.
有r是p^m-1的约数,且r < p^m-1 (因为p^q-1 > 1).
此外由q ≥ 2,n ≥ 2,可得q(n-1) ≥ 2n-2 ≥ n,有r > p^n.
GF(p^m)-{0}关于乘法构成一个p^m-1阶循环群.
r是p^m-1的约数,于是其中存在r阶元,设a是GF(p^m)-{0}中的一个r阶元.
可知a不属于GF(p^m)的任意真子域GF(p^k),否则a的阶数 ≤ p^k-1 ≤ p^n-1 < r.
因此GF(p^m) = GF(p)[a],a的极小多项式f(x)是首1的m次不可约多项式.
但r < p^m-1,a不是GF(p^m)的原根,故f(x)不是本原多项式.
即存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式,不是本原多项式.
注:对特征p > 2,无论m > 1是否素数,r总可取为(p^m-1)/(p-1) < p^m-1.
此时m是合数的条件是不必要的.