有两个有理数（注意：是有理数,不是实数）,它们的和及乘积都是整数,那么它们一定都是整数吗?

Question

有两个有理数（注意：是有理数,不是实数）,它们的和及乘积都是整数,那么它们一定都是整数吗?

Answer 1

一定.可以用反证法.
假设存在数a=n1+x1,b=n2+x2
其中n1,n2为整数,-1则由a+b为整数得x1+x2=m为整数,x2=m-x1
则ab=(n1+x1)(n2+x2)
=n1n2+n1x2+n2x1+x1x2
=n1n2+n1(m-x1)+n2x1+x1(m-x1)
=n1n2+n1m+x1(n2-n1+m-x1)
因为n2-n1+m为整数,x1为小数,所以n2-n1+m-x1为小数,即x1(n2-n1+m-x1)也为小数,
故ab=n1n2+n1m+x1(n2-n1+m-x1)为小数,而这与题设矛盾
所以命题不成立,即它们一定都是整数