如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距为d=1.0m，导轨平面与水平面夹角为α=30°，导轨上端跨接一定值电阻R=1.6Ω，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1T的

Question

如图所示，两根平行金属导轨MN、PQ相距为d=1.0m，导轨平面与水平面夹角为α=30°，导轨上端跨接一定值电阻R=1.6Ω，导轨电阻不计．整个装置处于方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场中．金属棒ef垂直于MN、PQ静止放置，且与导轨保持良好接触，其长刚好也为d、质量m=0.1kg、电阻r=0.4Ω，距导轨底端S₁=3.75m．另一根与金属棒平行放置的绝缘棒gh长度也为d，质量为(m)/(2)，从轨道最低点以速度v₀=10m/s沿轨道上滑并与金属棒发生正碰（碰撞时间极短），碰后金属棒沿导轨上滑S₂=0.2m后再次静止，测得此过程中电阻R上产生的电热为Q=0.2J．已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为μ=(√(3))/(3)，g取10m/s²，求：
（1）碰后瞬间两棒的速度；
（2）碰后瞬间的金属棒加速度；
（3）金属棒在导轨上运动的时间．

Answer 1

（1）设金属棒碰后的速度为v，对金属棒碰后的过程运用动能定理：
   0-(1)/(2)mv2=-W_安-mgS₂sinα-μmgS₂cosα…①
由功能关系，安培力做的功W_安等于回路中产生的总电热：
即：W_安=(R+r)/(R)Q…②
设绝缘棒与金属棒碰前的速度为v₁，对绝缘棒在导轨上滑动过程运用动能定理：
-μ(m)/(2)gS₁cosα-(m)/(2)gS1sinα=(1)/(2)(m)/(2)v

2

1

-(1)/(2)(m)/(2)v

2

0

…③
设绝缘棒碰后的速度为v₂，两棒碰时满足动量守恒，选沿导轨向上的方向为正方向，有：
 (m)/(2)v₁=(m)/(2)v₂+mv…④
由①②得：v=3m/s…⑤
由③④⑤得：v₂=-1m/s  负号表示方向沿导轨向下…⑥
（2）碰后瞬间的金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E，则有：
E=Bdv…⑦
回路中的感应电流：I=(E)/(R+r)…⑧
安培力的大小：F_安=BId…⑨
设金属棒的加速度为a，对金属棒运用牛顿第二定律：
 μmgcosα+mgsinα+F_安=ma…⑩
由⑦⑧⑨⑩得：a=25m/s²，方向沿导轨平面向下…（11）
（3）设金属棒在导轨上运动时间为t，在此运动过程中，安培力的冲量为I_安，沿导轨方向运用动量定理：
-I_安-μmgtcosα-mgtsinα=0-mv…（12）
其中：I_安=B

.

I

d•△t…（13）
由闭合电路欧姆定律：

.

I

=(.E)/(R+r)…（14）
由法拉第电磁感应定律

.

E

=(△Φ)/(△t)=(BdS2)/(△t)…（15）
联立⑩（11）（12）（13）得：t=0.2s…（16）
答：（1）碰后瞬间金属棒速度为3m/s，绝缘棒速度为-1m/s，负号表示方向沿导轨向下．
 （2）碰后瞬间的金属棒加速度为25m/s²；
（3）金属棒在导轨上运动的时间为0.2s．