证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2n-1）．

Question

证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2ⁿ-1）．

Answer 1

证明：取n=（p-1）k，则由费尔马小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），
所以p|（n2ⁿ-1）等价于（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），
等价于（p-1）k≡1（mod p），
等价于k≡1（mod p），
取k=pr-1（r∈N^*），
∴n=（p-1）（pr-1），就有（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），即p|（n2ⁿ-1）．