如图，在正方形ABCD的边CD上取一点P，使AP=PC+CB，M是DC的中点．求证：∠MAD=12∠BAP．

Question

如图，在正方形ABCD的边CD上取一点P，使AP=PC+CB，M是DC的中点．求证：∠MAD=(1)/(2)∠BAP．

Answer 1

证明：作∠BAP的平分线交BC于E，作EN⊥AP于N，连接EP，如图所示：
∵AF是∠BAP的平分线，EN⊥AP，
∴∠BAE=∠EAP，∠B=∠ANE=90°，
在△ABE和△ANE中，

∠BAE=∠EAP

∠B=∠ANE

AE=AE

，
∴△ABE≌△ANE（AAS），
∴BE=NE，AB=AN，
∵AP=PC+CB=PC+AB，
又AP=AN+NP=AB+NP
∴NP=PC，
在Rt△PEN和Rt△PEC中，

PE=PE

PN=PC

，
∴Rt△PEN≌Rt△PEC（HL），
∴NE=CE，
∴BE=CE，
∴BE=DM，
在△ABE和△ADM中，

AB=AD

∠B=∠D

BE=DM

，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠MAD=∠BAE，
∴∠MAD=(1)/(2)∠BAP．