已知：如图，边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌△ECD；②△AEF的周长为10；③△AEF的内切圆的半径为33，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个

Question

已知：如图，边长为6的正△ABC内有一边长为4的内接正△DEF，则下列结论①△DBF≌△ECD；②△AEF的周长为10；③△AEF的内切圆的半径为(√(3))/(3)，其中正确的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

Answer 1

∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∵在△AEF和△BFD和△CDE中，

∠A＝∠B＝∠C

∠AFE＝∠BDF＝∠CED

EF＝FD＝DE

∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），
故①正确；
∴AE=BF，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，
故②正确；
设△AEF的内切圆半径为r，
∵S_△ABC=9√(3)，S_△DEF=4√(3)，
∴S_△AEF=(1)/(3)（S_△ABC-S_△DEF）=(5√(3))/(3)，
∴r=(2S△AEF)/(AE+EF+AF)=(2×(5√(3))/(3))/(10)=(√(3))/(3)，
故③正确．
故选C．