在平面直角坐标系xOy中，位于x轴上方的动圆与x轴相切，且与圆x2+y2-2y=0相外切．（1）求动圆圆心轨迹C的方程式．（2）若点P（a，b）（a≠0，b≠0）是平面上的一个动点，且满足条件：过点P

Question

在平面直角坐标系xOy中，位于x轴上方的动圆与x轴相切，且与圆x²+y²-2y=0相外切．
（1）求动圆圆心轨迹C的方程式．
（2）若点P（a，b）（a≠0，b≠0）是平面上的一个动点，且满足条件：过点P可作曲线C的两条切线PM和PN，切点M，N连线与OP垂直，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）设动圆圆心C（x，y），（y>0），
因为动圆与x轴相切，且与圆x²+y²-2y=0相外切，所以√(x2+(y-1)2)-1=|y|，
又y>0，化简得：x²=4y，（y>0）．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）设P（a，b）（a≠0，b≠0），由方程x²=4y，（y>0）得y=(1)/(4)x2，两边对x求导得y′=(1)/(2)x．
设切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则M点处切线方程为y-y1=(x1)/(2)(x-x1)．
又y1=(1)/(4)x12，整理得：(1)/(2)x1x-y-y1=0，
又切线过P（a，b），所以(1)/(2)x1a-b-y1=0．
同理可得：(1)/(2)x2a-b-y2=0┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
所以过M，N的直线方程为：(1)/(2)ax-y-b=0
又MN⊥OP，所以k_MN•k_OP=-1，(1)/(2)a•(b)/(a)=-1，所以b=-2．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
直线MN：(1)/(2)ax-y+2=0过y轴上的定点（0，2）．┉┉┉┉┉┉┉（12分）