（2009•宝山区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．（1）设BE=x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；（2）若存在点E，使得△AB

Question

（2009•宝山区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝√(2)，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．
（1）设BE=x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数解析式；
（2）若存在点E，使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3：4：5，试求矩形ABCD的面积；
（3）对（2）中求出的矩形ABCD，连接CF，当BE的长为多少时，△CDF是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°又∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴△ABE∽△DFA，
∴(BE)/(FA)＝(AB)/(DF)，
∴y＝(√(2))/(x)；（3分）

（2）∵△ABE：△ADF：四边形CDFE的面积比是3：4：5，
∴S△ABE＝(1)/(4)S矩形ABCD，
∴BE＝(1)/(2)BC，（1分）
设BE=x，则BC=2x，
∵△ABE∽△DFA，且△ABE：△ADF=3：4
∴(AD2)/(AE2)＝(4)/(3)，∴(4x2)/(x2+2)＝(4)/(3)，（2分）
解得x=1，（1分）
∴BC=2，S矩形ABCD＝2√(2)；（1分）

（3）①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM=MF，（1分）
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；（1分）

②DF=DC时，则DC=DF=√(2)，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
则BE=√(2)，
∴当BE=√(2)时，△CDF是等腰三角形；（1分）

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB=√(2)，BE=x，
∴AE=√(2+x2)，
AF=(√(2+x2))/(2)
∵△ADF∽△EAB，
∴(AD)/(AE)＝(AF)/(EB)，
(2)/(√(2+x2))＝((√(2+x2))/(2))/(x)，
x²-4x+2=0，
解得x＝2±√(2)，
∴当BE=2−√(2)时，△CDF是等腰三角形．（1分）