求证：任意9个整数中,必有5个数,它们的和是5的倍数

Question

求证：任意9个整数中,必有5个数,它们的和是5的倍数

Answer 1

设数组 a0,a1,a2,b1,b2
a0是九个数中5的倍数个数
a1是九个数中被5除余1的数的个数
a2是九个数中被5除余2的数的个数
b1是九个数中被5除余-1的数的个数
b2是九个数中被5除余-2的数的个数
显然a0+a1+a2+b1+b2=9
假设有9个数任意五个的和都不被五整除
则首先排除两种情况：
一、有五个以上的数被5除的余数相同,否则取5个同余数相加就能被5整除,即a0,a1,a2,b1,b2中任一个都小于5；
二、9个数被5除之后,不可能出现5种不同的余数,否则不同余的数各取一个相加就被5整除；即a0,a1,a2,b1,b2中至少有一个是0；
这样,a0,a1,a2,b1,b2中,至少有两个同时不小于2（*）
证：例如a0=0,a1=4(>=2),则a2+b1+b2=9-0-4=5>3,得a2 b1 b2中至少有一个大于或等于2,命题（*）得证.
若a0>=2,a1>=2,则b2