可积不一定存在原函数,原函数存在不一定可积举个例子说明下

Question

可积不一定存在原函数 ,原函数存在不一定可积举个例子说明下

Answer 1

1.Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数,即存在可导函数F(x),使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导,则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.
基于如上观察,可以构造如下例子:
取f(x) = 0,当0 ≤ x < 1/2,取f(x) = 1,当1/2 ≤ x ≤ 1.
f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的,f(x) = F'(x)在该点不成立.
2.原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x ≠ 0处,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0处,取F(0) = 0,则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)处处可导.且对任意正整数k,F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数,但不是Riemann可积的(因为不是有界的).
实际上,存在F(x)在R上处处可导,导数有界,但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).