己知正数x,y,z满足xyz=1,求证(1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)大于等于八,也求证1/x1/y1/z大于等于9,答得好的加一百分

Question

己知正数x,y,z满足x y z=1,求证(1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)大于等于八,
也求证1/x 1/y 1/z大于等于9,答得好的加一百分

Answer 1

1.(1/x-1)(1/y-1)(1/z-1) =(1-x)(1-y)(1-z)/(xyz) =(y+z)(x+z)(x+y)/(xyz) >=2√(yz)*2√(xz)*2√(xy)/(xyz) =8xyz/(xyz) =8 当且仅当x=y=z=1/3时等号成立 2.1/x+1/y+1/z =(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z =1+y/x+z/x+x/y+1+z/y+x/z+y/z+1 =3+(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(z/y+z/x) >=3+2+2+2 =9 当且仅当x=y=z=1/3时等号成立.