国庆长假期间小明去参观画展，为了保护壁画，举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开，小明在一幅壁画正前方驻足观看．如图是小明观看该壁画的纵截面示意图，已知

Question

国庆长假期间小明去参观画展，为了保护壁画，举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开，小明在一幅壁画正前方驻足观看．如图是小明观看该壁画的纵截面示意图，已知壁画高度AB是2米，壁画底端与地面的距离BO是1米，玻璃幕墙与壁画之间的距离OC是1米．若小明的身高为a米（0＜a＜3），他在壁画正前方x米处观看，问x为多少时，小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大？

Answer 1

（本小题满分16分）
因为y=tanx在x∈（0，(π)/(2)）是增函数，
（1）当0＜a＜1时，如图1，tanθ=tan（α-β）=((3−a)/(x)−(1−a)/(x))/(1+((1−a)(3−a))/(x2))=(2)/(x+((1−a)(3−a))/(x))，
令函数f（x）=x+((1−a)(3−a))/(x)，可证明函数f（x）在（0，√((1−a)(3−a))）是单调减函数，
在(√((1−a)(3a))，+∞)是单调增函数．
若√((1−a)(3−a))≤1时，即2−√(2)≤a＜1时，
f（x）在[1，+∞）上是增函数，此时当x=1时tanθ取得最大值，则视角θ最大．
若√((1−a)(3−a))＞1时，即0＜a＜2−√(2)，
①当x=√((1−a)(3−a))时，tanθ取得最大值，则视角θ最大．
②当a=1时，tanθ=(2)/(x)（x≥1），当x=1时tanθ取得最大值，则视角θ最大．
（2）当1＜a＜3且a≠2时如图2，
tanθ═tan（α+β）=((3−a)/(x)+(a−1)/(x))/(1−((a−1)(3−a))/(x2))=(2)/(x−((a−1)(3−a))/(x))，
令g（x）=x−((a−1)(3−a))/(x)，
在[1，+∞）上是增函数，所以当x=1时，y_max＞0，tanθ＞0，故θ为锐角．
∴当x=1时，g（x）取得最小值，tanθ取得最大值，则视角θ最大．
综上：当2−√(2)≤a＜3时，且x=1时，视角θ最大；
当0＜a＜2−√(2)，时，且x=√((1−a)(3−a))时，视角θ最大．