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国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开,小明在一幅壁画正前方驻足观看.如图是小明观看该壁画的纵截面示意图,已知

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国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开,小明在一幅壁画正前方驻足观看.如图是小明观看该壁画的纵截面示意图,已知壁画高度AB是2米,壁画底端与地面的距离BO是1米,玻璃幕墙与壁画之间的距离OC是1米.若小明的身高为a米(0<a<3),他在壁画正前方x米处观看,问x为多少时,小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大?
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分16分)
因为y=tanx在x∈(0,
π
2
)是增函数,
(1)当0<a<1时,如图1,tanθ=tan(α-β)=
3−a
x
1−a
x
1+
(1−a)(3−a)
x2
=
2
x+
(1−a)(3−a)
x 

令函数f(x)=x+
(1−a)(3−a)
x
,可证明函数f(x)在(0,
(1−a)(3−a)
)是单调减函数,
(
(1−a)(3a)
,+∞)是单调增函数.
(1−a)(3−a)
≤1时,即2−
2
≤a<1时,
f(x)在[1,+∞)上是增函数,此时当x=1时tanθ取得最大值,则视角θ最大.
(1−a)(3−a)
>1时,即0<a<2−
2

①当x=
(1−a)(3−a)
时,tanθ取得最大值,则视角θ最大.
②当a=1时,tanθ=
2
x
(x≥1),当x=1时tanθ取得最大值,则视角θ最大.
(2)当1<a<3且a≠2时如图2,
tanθ═tan(α+β)=
3−a
x
+
a−1
x
1−
(a−1)(3−a)
x2
=
2
x−
(a−1)(3−a)
x 

令g(x)=x−
(a−1)(3−a)
x

在[1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,ymax>0,tanθ>0,故θ为锐角.
∴当x=1时,g(x)取得最小值,tanθ取得最大值,则视角θ最大.
综上:当2−
2
≤a<3时,且x=1时,视角θ最大;
0<a<2−
2
,时,且x=
(1−a)(3−a)
时,视角θ最大.
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