函数f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)的最小值是9（不要用万能公式!）函数f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)的最小值是9t为大于0的常数0

Question

函数f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)的最小值是9 （不要用万能公式!）
函数f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)的最小值是9
t为大于0的常数
0

Answer 1

f(x)=1/sinx+t/(1-sinx)=[1/sinx+t/(1-sinx)]*(sinx+1-sinx)
=1+t+(1-sinx)/sinx+tsinx/(1-sinx)
∵t为大于0的常数,0∴(1-sinx)/sinx>0,tsinx/(1-sinx)>0
∴f(x)=1+t+(1-sinx)/sinx+tsinx/(1-sinx)≥1+t+2√t=(1+√t)^2
当且仅当(1-sinx)/sinx=tsinx/(1-sinx)即sinx=1/(1+√t)时
f(x)取最小值(1+√t)^2=9
∴t=4
这用的均值不等式