如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口313海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tanα=13，tanβ=32．现指挥部需要紧急征调沿海

Question

如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口3√(13)海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中tanα=(1)/(3)，tanβ=(3)/(2)．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东t（t＞7）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．
（1）求S关于t的函数关系式S（t）；
（2）应征调t为何值处的船只，补给最适宜．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=(1)/(4)，且a_n+1=((n−1)an)/(n−an)（n≥2），
∴a₃=((2−1)a2)/(2−a2)=((1)/(4))/(2−(1)/(4))=(1)/(7)，同理可求a₄=(1)/(10)，
故可以猜测an＝(1)/(3n−2)…（2分）
下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）
假设当n=k（k≥1）时结论成立，即ak＝(1)/(3k−2)，
当n=k+1时，ak+1＝((k−1)ak)/(k−ak)＝(k−1)/(3k2−2k−1)＝(1)/(3(k+1)−2)…（5分）
即当n=k+1时，结论也成立，综合可得an＝(1)/(3n−2)成立．…（6分）
（Ⅱ）证明：∵bn＝(1)/(√(3n+1)+√(3n−2))＝(1)/(3)(√(3n+1)−

作业帮用户 2016-11-21 举报

问题解析

（Ⅰ）依题意，易求得a₃=(1)/(7)，a₄=(1)/(10)，于是可猜想an＝(1)/(3n−2)；再利用数学归纳法证明即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝(1)/(√(3n+1)+√(3n−2))＝(1)/(3)(√(3n+1)−√(3n−2))，于是可得b₁+b₂+…+b_n=(1)/(3)(√(3n+1)−1)，只需证明(1)/(3)(√(3n+1)−1)＜√((n)/(3))即可．

名师点评

本题考点：

数学归纳法；数列递推式；归纳推理．

考点点评：

本题考查数列递推关系的应用，考查运算、猜想及数学归纳法推理证明的能力，考查分析法，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议