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在一次数学考试中,第22,23,24题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选做一题,设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13,每位学生对每题的选择是相互独立的,各学生的选

题目详情
在一次数学考试中,第22,23,24题为选做题,规定每位考生必须且只须在其中选做一题,设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为
1
3
,每位学生对每题的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响.
(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率;
(2)设选做第23题的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(1)设事件A1表示甲选22题,A2表示甲选23题,A3表示甲选24题,
B1表示乙选22题,B2表示乙选23题,B3表示乙选24题,
则甲、乙两人选做同一题事件为A1B1+A2B2+A3B3
且A1与B1,A2与B2,A3与B3相互独立,
所以P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=3×
1
9
1
3
…(4分)
(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为
1
3

P(ξ=k)=
C
k
5
(
1
3
)k(
2
3
)5−k=
C
k
5
25−k
35
,k=0,1,2,3,4,5
∴分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
1
243
E(ξ)=np=5×
1
3
5
3
…(12分)
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