在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选

Question

在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为(1)/(3)，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

（1）设事件A₁表示甲选22题，A₂表示甲选23题，A₃表示甲选24题，
B₁表示乙选22题，B₂表示乙选23题，B₃表示乙选24题，
则甲、乙两人选做同一题事件为A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
且A₁与B₁，A₂与B₂，A₃与B₃相互独立，
所以P(A1B1+A2B2+A3B3)＝P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)＝3×(1)/(9)＝(1)/(3)…（4分）
（2）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
且5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为(1)/(3)，
∴P(ξ＝k)＝

C

k 5

((1)/(3))k((2)/(3))5−k＝

C

k 5

(25−k)/(35)，k=0，1，2，3，4，5
∴分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	(32)/(243)	(80)/(243)	(80)/(243)	(40)/(243)	(10)/(243)	(1)/(243)

∴E(ξ)＝np＝5×(1)/(3)＝(5)/(3)…（12分）