1．设数列{an}的各项都是正数,且对任意n属于N*,都有a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3=Sn^2,其中Sn为数列{an}的前n项和（1）求证：an^2=2Sn-an(2)求数列{an}的通项公式（3）设bn=3^n+入*2^(an)（n属于N*）,试确定入的

Question

1．设数列{an}的各项都是正数,且对任意n属于N*,都有a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3=Sn^2,其中Sn为数列{an}的前n项和
（1）求证：an^2=2Sn-an
(2)求数列{an}的通项公式
（3）设bn=3^n+入*2^(an) （n属于N*）,试确定入的取值范围,使得对任意n属于N*,都有bn+1>bn成立.
2,设S=2x^2+2xy+y^2-4x+2y+1,当s取最小值时,x=____,y=____

Answer 1

1.(1)
Sn-1^2=a1^3+a2^3+a3^3+……+an-1^3 (1)
Sn^2=a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3 (2)
(2)-(1)
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=an^3
(Sn+Sn-an)an=an^3 (an>0)
(Sn+Sn-an)=an^2
2Sn-an=an^2
(2).
2Sn=an^2+an (1)
2Sn-1=an-1^2+an-1(2)
(1)-(2)
2an=an^2-an-1^2+an-an-1
0=an^2-an-1^2-an-an-1
0=(an-an-1)(an+an-1)-(an+an-1)
0=(an+an-1)(an + an-1 - 1)
因为an+an-1>0
所以an - an-1 = 1
数列{an}为公差为1的等差数列
S1=a1
S1^2=a1^3=a1^2 (a1>0)
所以解得a1=1
an=a1+(n-1)*1=n
数列{an}的通项公式 an=n
(3).
bn=3^n+入*2^(an)
bn=3^n+入*2^n (1)
bn+1=3^n+1+入*2^n+1
bn+1=3*3^n+2*入*2^n (2)
(2)-(1)
bn+1-bn=2*3^n+入*2^n>0
入>-2*3^n/2^n
则 入>2*(3/2)^n
2.
S=2x^2+2xy+y^2-4x+2y+1
S=x^2-4x+4+y^2+2y++1+x^2+2xy+y^2-4
S=(x-2)^2+(y+1)^2+(x+y)^2-4-y^2
讨论
(1) 当x-2=0 y+1=0 时 S=-4
(2) 当x-2=0 x+y=0 时 S=-7
(3) 当y+1=0 x+y=0 时 S=-4
所以 x=2 y=-2