谁能给一个代数基本定理的代数证明呀?

Question

谁能给一个代数基本定理的代数证明呀?

Answer 1

首先你要知道Liouville定理.任何在整个复平面解析的复变函数都是有界的.
也就是,如果f(z)在整个复平面每个点都解析,又是有界的,则存在M such that
|f(z)| ≤ M,∀z ∈ C.
接下来设 p(z)=anz^n +an−1z^n−1···+a0 =0 ,其中pz是任何一个多项式,
设他没复根.也就是不存在z,使得p(z)=0.
则他的倒数是整个复平面解析的.
明显z无穷时 |1/p(z)|趋近于0.
因此 对于任何ε>0,都有R,使得 |1/p(z)| < ε,∀z :|z| > R.
又因为1/pz是连续的,因此对于这个R,存在一个正常数M,使得
|1/p(z)|≤M,∀ z:|z|≤R
因此|1/p(z)|≤ max{ε,M}.因此有界.根据Liouville,他是常数,但显然1/p(z)不是常数,矛盾.
因此他有复根.