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菲菲分别统计A的约数个数,A的2倍的约数个数,A的3倍的约数个数,…A的10倍的约数个数后得到下表.如果这个表中只有一处统计错了,那么整数A是.算式A2×A3×A4×A5×A6×A7×A8×A9×
题目详情
菲菲分别统计A的约数个数,A的2倍的约数个数,A的3倍的约数个数,…A的10倍的约数个数后得到下表.如果这个表中只有一处统计错了,那么整数A是___.
算式 | A | 2×A | 3×A | 4×A | 5×A | 6×A | 7×A | 8×A | 9×A | 10×A |
约数个数 | 24 | 30 | 36 | 36 | 48 | 45 | 32 | 42 | 49 | 60 |
▼优质解答
答案和解析
根据分析,可得
(1)A到2A时,增加1个质因数2,约数增加30-24=6(个),所以A必有质因数2,
(2)A到3A时,增加1个质因数3,约数增加36-24=12(个),所以A必有质因数3,
(3)A到4A时,增加2个质因数2,约数增加36-24=12(个),所以A必有质因数2,
(4)A到5A时,增加1个质因数5,约数增加48-24=24(个),约数增加一倍,所以A没有质因数5,
(5)A到6A时,增加1个质因数2和1个质因数3,约数增加45-24=21(个),所以A必有质因数2和3,
(6)A到7A时,增加1个质因数7,约数增加(32-24=8)8个,所以A必有质因数7,
(7)A到8A时,增加3个质因数2,约数增加(42-24=18)18个,所以A必有分解质因数2,
…
(8)A到2A,4A,8A过程中,
约数个数分别增加6个、12个、18个,
那么24=4×6或者24=4×2×3,
A中必有一个因数为23;
(9)A到7A过程中,约数个数增加8个,
A中有一个因数为72,另一个质因数是3;
所以可得:
A=23×3×72,A的约数个数:
(3+1)×(1+1)×(2+1)
=4×2×3
=24(个);
2A=24×3×72,2×A约数的个数:
(4+1)×(1+1)×(2+1)
=5×2×3
=30(个)
3A=23×32×72,3×A约数的个数:
(3+1)×(2+1)×(2+1)
=4×3×3
=36(个)
4A=25×3×72,4×A约数的个数:
(5+1)×(1+1)×(2+1)
=6×2×3
=36(个)
…
9A=23×33×72,9×A约数的个数:
(3+1)×(3+1)×(2+1)
=4×4×3
=48(个)
所以9A的约数的个数统计错误,应该是48个,不是49个,
因此A=23×3×72=1176.
故答案为:1176.
(1)A到2A时,增加1个质因数2,约数增加30-24=6(个),所以A必有质因数2,
(2)A到3A时,增加1个质因数3,约数增加36-24=12(个),所以A必有质因数3,
(3)A到4A时,增加2个质因数2,约数增加36-24=12(个),所以A必有质因数2,
(4)A到5A时,增加1个质因数5,约数增加48-24=24(个),约数增加一倍,所以A没有质因数5,
(5)A到6A时,增加1个质因数2和1个质因数3,约数增加45-24=21(个),所以A必有质因数2和3,
(6)A到7A时,增加1个质因数7,约数增加(32-24=8)8个,所以A必有质因数7,
(7)A到8A时,增加3个质因数2,约数增加(42-24=18)18个,所以A必有分解质因数2,
…
(8)A到2A,4A,8A过程中,
约数个数分别增加6个、12个、18个,
那么24=4×6或者24=4×2×3,
A中必有一个因数为23;
(9)A到7A过程中,约数个数增加8个,
A中有一个因数为72,另一个质因数是3;
所以可得:
A=23×3×72,A的约数个数:
(3+1)×(1+1)×(2+1)
=4×2×3
=24(个);
2A=24×3×72,2×A约数的个数:
(4+1)×(1+1)×(2+1)
=5×2×3
=30(个)
3A=23×32×72,3×A约数的个数:
(3+1)×(2+1)×(2+1)
=4×3×3
=36(个)
4A=25×3×72,4×A约数的个数:
(5+1)×(1+1)×(2+1)
=6×2×3
=36(个)
…
9A=23×33×72,9×A约数的个数:
(3+1)×(3+1)×(2+1)
=4×4×3
=48(个)
所以9A的约数的个数统计错误,应该是48个,不是49个,
因此A=23×3×72=1176.
故答案为:1176.
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