已知虚数α、β满足α2+pα+1=0和β2+pβ+1=0（其中p∈R），若|α-β|=1，则p=±3±3．

Question

已知虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），若|α-β|=1，则p=

±√(3)

±√(3)

．

Answer 1

∵虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虚数α、β是方程x²+px+1=0的两个虚根，
则α、β互为共轭复数，设α=a+bi，则β=a-bi，
则α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=(1)/(2)，
则由α²+pα+1=0得a²-b²+2abi+p（a+bi）+1=0，
即a²-b²+pa+1=0且2ab+bp=0，
即p=-2a，a²-(1)/(4)-2a²+1=0
即a²=(3)/(4)，a=±(√(3))/(2)，
则p=-2a=±√(3)，
（另∵虚数α、β满足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虚数α、β是方程x²+px+1=0的两个虚根，
则α、β互为共轭复数，设α=a+bi，则β=a-bi，
则α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=(1)/(2)，
由根与系数之间的关系得α+β=-p=2a，αβ=a²+b²=1，
即a²=1-b²=1-(1)/(4)=(3)/(4)，a=±(√(3))/(2)，
则p=-2a=±√(3)，
故答案为：±√(3)，