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某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.(1)如图1,△ABC两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E.则∠BEC=90°+12∠A.(阅读下面证

题目详情
某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究.

(1)如图1,△ABC两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E.则∠BEC=90°+
1
2
∠A.
(阅读下面证明过程,并填空.)
证明:∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠EBC=
1
2
∠ABC,∠ECB=
1
2
∠ACB(角平分线的定义)
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)(______)
=180°-(
1
2
∠ABC+
1
2
∠ACB)=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB)
=180°-
1
2
(180°-∠A)
=
180°-90°+
1
2
∠A
180°-90°+
1
2
∠A
=90°+
1
2
∠A
(2)如图2,△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E.
请你写出∠BEC与∠A的数量关系,并证明.
答:∠BEC与∠A的数量关系式:
∠BEC=
1
2
∠A
∠BEC=
1
2
∠A

证明:______.
(3)如图3,△ABC的两外角∠CBD与∠BCF的平分线交于点E,请你直接写出∠BEC与∠A的数量关系,不需证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠EBC=
1
2
∠ABC,∠ECB=
1
2
∠ACB(角平分线的定义)
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)( 三角形内角和定理)
=180°-(
1
2
∠ABC+
1
2
∠ACB),
=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB),
=180°-
1
2
(180°-∠A),
=180°-90°+
1
2
∠A,
=90°+
1
2
∠A;

(2)探究2结论:∠BEC=
1
2
∠A,
理由如下:
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线,
∴∠1=
1
2
∠ABC,∠2=
1
2
∠ACM,
又∵∠ACM是△ABC的一外角,
∴∠ACM=∠A+∠ABC,
∴∠2=
1
2
(∠A+∠ABC)=
1
2
∠A+∠1,
∵∠2是△BEC的一外角,
∴∠BEC=∠2-∠1=
1
2
∠A+∠1-∠1=
1
2
∠A;

(3)探究3:∠EBC=
1
2
(∠A+∠ACB),∠ECB=
1
2
(∠A+∠ABC),
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB,
=180°-
1
2
(∠A+∠ACB)-
1
2
(∠A+∠ABC),
=180°-
1
2
∠A-
1
2
(∠A+∠ABC+∠ACB),
结论∠BEC=90°-
1
2
∠A.
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