要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=12AB，tan∠FED=34，设AB=x米，BC=y米．（Ⅰ）求y关于x的表达式；（

Question

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米²），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=(1)/(2)AB，tan∠FED=(3)/(4)，设AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y关于x的表达式；
（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

Answer 1

（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依题意：DH=(1)/(2)AB=(1)/(2)x，EH=(DH)/(tan∠FED)=(4)/(3)×(1)/(2)x=(2)/(3)x，
∴(39)/(2)=xy+(1)/(2)（x+x+(4)/(3)x）(1)/(2)x=xy+(5)/(6)x2，∴y=(39)/(2x)−(5)/(6)x，
∵x＞0，y＞0，∴(39)/(2x)−(5)/(6)x＞0，解得0＜x＜(3√(65))/(5)，
∴所求的表达式为：y=(39)/(2x)−(5)/(6)x，（0＜x＜(3√(65))/(5)）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED=(3)/(4)，∴sin∠FED=(3)/(5)，
∴DE=(DH)/(sin∠FED)=(1)/(2)x÷(3)/(5)=(5)/(6)x，
∴l=（2x+2y）+2×(5)/(6)x+（2×(2)/(3)x+x）=2y+6x
=(39)/(x)−(5)/(3)x+6x=(39)/(x)+(13)/(3)x≥2√((39)/(x)×(13)/(3)x)=26，
当且仅当(39)/(x)=(13)/(3)x，即x=3时取等号，此时y=(39)/(2x)−(5)/(6)x=4，
∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少