已知点F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1，+∞）B.(1，3)C.

Question

已知点F₁、F₂分别是双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A. （1，+∞）
B. (1，√(3))
C. （1，2）
D. (1，1+√(2))

Answer 1

根据题意，易得AB=2(b2)/(a)，F₁F₂=2c，
由题设条件可知△ABF₂为等腰三角形，
只要∠AF₂B为锐角，即AF₁＜F₁F₂即可；
所以有(b2)/(a)＜2c，
即2ac＞c²-a²，
解出e∈(1，1+√(2))，
故选D．