初学无穷级数一直有个疑问有人帮我解答一下吗？在幂级数中求收敛半径的时候有一个前期是“在不缺项情况下”。我有以下几个问题缺项还是不缺项是怎么判断的？是不是当n=0到无穷时

Question

初学无穷级数 一直有个疑问 有人帮我解答一下吗？

在幂级数中求收敛半径的时候有一个前期是“在不缺项情况下”。我有以下几个问题

1. 缺项还是不缺项是怎么判断的？是不是当n=0到无穷时，x的幂要大于等于0？

   2.缺项的话，算法是不是lim a(n+1)/an中把x^n也算进去？

  3.缺项的情况是只针对幂级数吗？交错级数或者其他级数会不会有缺项的特殊情况？如果有的话判断方法是不是和幂级数一样？

  4.当一个无穷级数既含有(-1)^n又含有x^n时，该当做幂级数还是交错级数？

是不是算收敛域和收敛半径的时候要当做幂级数，算a(n+1)/an时带上(-1)^n；如果判断收敛还是发散的话就要当错交错级数？

满分了。。请帮我详细回答一下  谢谢

Answer 1

①缺不缺项你就看x的幂跳没跳，比如x,x^2,x^3这种就是正常的
x,x^3,x^5或者x,x^4,x^7这种都是算缺项的
②是的，缺项就用比较审敛法
③交错级数缺项的情况比较少，但是也有，遇到后就当幂级数缺项处理
④可以叫幂级数也可以叫交错级数，一般都叫交错级数，这样更具体，需要了解的是交错级数∈幂级数；收敛半径和收敛域主要就是一个算R的问题，不带上(-1)^n，因为R=1/ρ=lim(x→∞)|an/a(n+1)|
这里有绝对值，(-1)直接忽略掉。交错级数有专门的判别法，由绝对收敛和条件收敛判断，肯定需要(-1)^n判断的，不能舍弃
如果还有不懂，可以继续追问