国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额不超过6000元，某大学2010届毕业生凌霄在本科

Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额不超过6000元，某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了2 4000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清，签约的单位提供的工资标准为第一年内每月l 500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元，凌霄同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元。
（1）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（2）当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据： 1.05 ¹⁸ =2.406，1.05 ¹⁹ =2.526，1.05 ²⁰ =2.653，1.05 ²¹ =2.786）

Answer 1

（1）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为a _n 构成等差数列，其中a ₁ =500+x，公差为x
从而，到第36个月，凌霄共还款12×500+24a ₁ +
令 24000，解得x=20（元）
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元。
（2）设凌霄第n个月还清，则应有12×500+（500+
整理可得n ² -3n-828≥0，
解得 ，取n=31
即凌霄工作31个月就可以还清贷款
这个月凌霄的还款额为24000-[12×500+（500+ 50）×（30-12）+ = 450（元）
第31个月凌霄的工资为1500×1.05 ¹⁹ =1500×2.526=3789（元）
因此，凌霄的剩余工资为3789-450=3339（元），能够满足当月的基本生活需求。