函数3x5+5x3+7x一定是几的倍数?答案是15的倍数。怎么算的啊

Question

函数3x5+5x3+7x一定是几的倍数?
答案是15的倍数。怎么算的啊

Answer 1

记3x^5+5x^3+7x=u;
首先证明u能被3整除
u=3x^5+5x^3+7x
=3x^5+(6x^3-x^3)+(6x+x)
=3x^5+6x^3+6x-(x^3-x)
=3(x^5+2x^3+2x)-(x-1)x(x+1)
又(x-1)x(x+1)必能被3整除
所以u能被3整除
同理
u=3x^5+5x^3+7x
=5x^5-2x^5+5x^3+5x+2x
=5(x^5+x^3+x)-(2x^5-2x)
=5(x^5+x^3+x)-2x(x^2+1)(x+1)(x-1)
又x(x^2+1)(x+1)(x-1)必能被5整除（分x被5除所得余数的5种情况讨论）
所以u能被5整除
又（5,3）=1
所以u能被15整除