已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，试问：当CDCC1的值为多少时，A1C⊥平面C1BD？并给予证明．

Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，试问：当(CD)/(CC1)的值为多少时，A₁C⊥平面C₁BD？并给予证明．

Answer 1

当(CD)/(CC1)=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵(CD)/(CC1)=1，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱锥C-C₁BD是正三棱锥．（3分）
设A₁C与C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．（6分）