如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

Question

如图所示，在平行六面体ABCD—A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，O是B ₁ D ₁ 的中点，
求证：B ₁ C∥平面ODC ₁ .

Answer 1

证明略

 设 =a， =b， =c，
∵四边形B ₁ BCC ₁ 为平行四边形，
∴ =c-a，
又O是B ₁ D ₁ 的中点，
∴ = （a+b），
∴ =- （a+b）
= - =b- （a+b）= （b-a）.
∵D ₁ D   C ₁ C，所以 =c，
∴ = + = （b-a）+c.
若存在实数x、y，使
=x +y （x，y∈R）成立，则
c-a=x[ （b-a）+c]+y[- （a+b）]
=- （x+y）a+ （x-y）b+xc.
∵a、b、c不共线，
∴ 得
∴ = + ，∴ 、 、 是共面向量，
∵ 不在 、 所确定的平面ODC ₁ 内，
∴B ₁ C∥平面ODC ₁ .