好心的朋友帮忙做一道数学建模的题吧,感激不尽啊,管道包扎问题用宽度为0.3的带子缠绕包扎圆柱型管道,管道长30m,截面周长为0.5m.（1）、如果用带子全部包住管道,最少要用多长的带子,请你

Question

好心的朋友帮忙做一道数学建模的题吧,感激不尽啊,
管道包扎问题
用宽度为0.3的带子缠绕包扎圆柱型管道,管道长30m,截面周长为0.5m.
（1）、如果用带子全部包住管道,最少要用多长的带子,请你给出计算这个最小长度的公式,并且依次计算出所需长度数值.
（2）、现有一条长度为51m的带子,想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管道,可以使带子的接缝处重叠瘩接.请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案.（计算结果精确到0.001m）

Answer 1

(1) 由于是最少,所以包扎时不可能有重叠,注意到两边各有一条长三角形的带子会伸出来,所以带子的总面积 = 管道侧面积 + 两个多余三角形的面积
又因为 管道侧面积 = 管道长 * 截面周长
多余三角形面积 = 1/2 * 带宽 * sqrt(截面周长 ^ 2 - 带宽 ^ 2)
//这里不解释了,自己想想吧
然后把总面积除带宽就可得带长了
//为了下题需要我们算一下这时带子与管道截面的夹角a
a = arcsin (带宽/截面周长)
(2)我们引进一个新的思考方式:每转一圈前进了多少米?
当不重叠时这个"速度"为 带宽 * cos(a)
而转一圈消耗掉的带长为 截面周长 / cos(a)
如此,51 / 带长 = 30 / "速度"
联立以上式子可得出a的解,由a又可以计算出重叠的宽度,都是简单的东西就不做了
sqrt() 开平方,arcsin 反正切函数