修建一个面积为平方米的矩形场地的围墙，要求在前面墙的正中间留一个宽度为2米的出入口，后面墙长度不超过20米，已知后面墙的造价为每米45元，其它墙的造价为每米180元，设后面

Question

修建一个面积为 平方米的矩形场地的围墙，要求在前面墙的正中间留一个宽度为2米的出入口，后面墙长度不超过20米，已知后面墙的造价为每米45元，其它墙的造价为每米180元，设后面墙长度为x米，修建此矩形场地围墙的总费用为 元.
（1）求 的表达式；
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

Answer 1

（1） ；（2）若 ，最小总费用为 （元）. ，则当 时，最小总费用为 （元）．  .

试题分析：（1）根据条件可以将所有墙的长度都用含 的代数式表示出来，再由墙的造价，即可得到 ，又由条件后墙长度不超过20米及前墙留一个宽度为2米的出入口，可知 ；（2）由（1）中所求表达式可知，要求最小费用，即求 ，而 是一个“对钩”函数，需对 的取值范围分类讨论：① ，② ，从而利用“对钩”函数的单调性求 的最小值.
（1）画出如下示意图，由矩形的面积为S，可知与 相邻的边长为 ，∴总费用 ，
显然 ，∴ ；

（2） ，则 ，可以证明 在 递减，在 递增.
若 ，即 ，则当 时，最小总费用为 （元）.
若 ，即 ，则当 时，
最小总费用为 （元）．