（本小题满分14分）一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；②当从A口输入自然数时，在B口得到的

Question

（本小题满分14分）
一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序：
①当从A口输入自然数1时，从B口得到  ，记为 ；
② 当从A口输入自然数 时，在B口得到的结果 是前一个结果 的 倍；
试问：当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想 的关系式，并证明你的结论。

Answer 1

，证明见解析。

由已知得  
当 时， ，
同理可得   ---------------------4分
猜想  -------------------6分
下面用数学归纳法证明 成立
①当 时，由上面的计算结果知 成立   ------8分
②假设 时， 成立，即  ，
那么当 时，
即          
当 时， 也成立      ---------------13分
综合①②所述，对  ， 成立。-----14分