已知平面α∥平面β，AB、CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB、CD不共面，如图所示．求证：EG∥平面α，EG∥平面β．

Question

已知平面 α ∥平面 β ， AB 、 CD 是夹在这两个平面之间的线段，且 AE ＝ EB ， CG ＝ GD ， AB 、 CD 不共面，如图所示．求证： EG ∥平面 α ， EG ∥平面 β ．

Answer 1

解析：
证明：过点A作AH∥CD交平面β于点H，设F是AH的中点，连结EF，FG和BH，HD． ∵E，F分别是AB，AH的中点 ∴EF∥BH，且BH平面β， ∴EF∥β． 又F，G分别是AH，CD的中点，且AC∥HD，∴FG∥HD．∴FG∥β， ∵DF∩FG=F，∴平面EFG∥β． 又α∥β，∴平面EFG∥α． ∵EG平面EFG，∴EG∥α，EG∥β． 　
提示：
通过作辅助线和辅助平面，利用平行平面的性质来解决解决问题． 本题是平面几何里梯形中位线的推广．其证明过程反映出解题中作辅助线或辅助平面的重要性．