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如图1,点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度是1cm/s.(1)连接AQ、CP交于点M,求证:∠CMQ=60°;(2)当运动时间为多少时,△
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如图1,点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度是1cm/s.
(1)连接AQ、CP交于点M,求证:∠CMQ=60°;
(2)当运动时间为多少时,△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q运动到终点B、C后继续在AB、BC的延长线上运动,直线AQ、CP交点为M,求∠CMQ的度数.
(1)连接AQ、CP交于点M,求证:∠CMQ=60°;
(2)当运动时间为多少时,△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q运动到终点B、C后继续在AB、BC的延长线上运动,直线AQ、CP交点为M,求∠CMQ的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°;
(2) 设时间为t,则AP=BQ=t,PB=6-t,
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得6-t=2t,t=2;
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(6-t),t=4;
∴当第2秒或第4秒时,△PBQ为直角三角形;
(3) ∵在等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°,
∴∠PBC=∠ACQ=120°,
又由条件得BP=CQ,AC=BC
∴△PBC≌△QCA(SAS),
∴∠BPC=∠MQC,
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°.
又由条件得AP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°;
(2) 设时间为t,则AP=BQ=t,PB=6-t,
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得6-t=2t,t=2;
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(6-t),t=4;
∴当第2秒或第4秒时,△PBQ为直角三角形;
(3) ∵在等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°,
∴∠PBC=∠ACQ=120°,
又由条件得BP=CQ,AC=BC
∴△PBC≌△QCA(SAS),
∴∠BPC=∠MQC,
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°.
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