如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，AD=5，在AD边上是否存在一点P，使得△ABP与△DPC相似？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，AD=5，在AD边上是否存在一点P，使得△ABP与△DPC相似？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

存在．理由如下：
∵AD∥BC，AB=CD=2，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，
∴当(AB)/(CD)=(AP)/(DP)时，△ABP∽△DCP，即(2)/(2)=(AP)/(DP)，所以AP=DP，而AD=5，所以AP=(1)/(2)AD=(5)/(2)；
当(AB)/(DP)=(AP)/(DC)时，△ABP∽△DPC，即(2)/(DP)=(AP)/(2)，所以AP（5-AP）=4，解得AP=1或AP=4（舍去），
∴当AP=1或(5)/(2)时，△ABP与△DPC相似．