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如图,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿BA边从点B开始向终点A以2cm/s的速度移动.点Q从点D开始沿DC边向终点C以2cm/s的速度移动,设PQ与AC的交点O,如果P、Q两点同时出发,移动的时间为xs(0<x<6).当

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如图,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿BA边从点B开始向终点A以2cm/s的速度移动.点Q从点D开始沿DC边向终点C以2cm/s的速度移动,设PQ与AC的交点O,如果P、Q两点同时出发,移动的时间为xs(0<x<6).当x为何值时,△OAP与△ABC相似?
▼优质解答
答案和解析
分析:(1)只要把QA、AP用含t的代数式表示,利用QA=AP求解;(2)可以分别求出△QAC和△APC的面积;(3)同例4一样,要分两种情况求解.
(1)对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.
当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形.
即6-t=2t.
解得t=2(秒).
所以当t=2秒时,△QAP为等腰直角三角形.
(2)在△QAC中,QA=6-t,QA边上的高DC=12,
∴S△QAC= QA•DC= (6-t)•12=36-6t.
∵在△APC中,AP=2t,BC=6,
∴S△APC= AP•BC= •2t•6=6t.
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=36-6t+6t=36(cm 2).
由计算结果发现:在P、Q两点的移动过程中,四边形QAPC的面积始终保持不变.(也可以提出:P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)
(3)根据题意,可分为两种情况来求
当 时,△QAP∽△ABC.
∴ .
解得t=1.2(s).
∴当t=1.2 s时,△QAP∽△ABC.
当 时,△PAQ∽△ABC.
∴ .
解得t=3(秒).
∴当t=3 s时,△PAQ∽△ABC.