如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．（1）求证：四边形ABED为平行四边形；（2）试判断△ABF

Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．
（1）求证：四边形ABED为平行四边形；
（2）试判断△ABF的形状，并说明理由；
（3）∠QCD=45°．

Answer 1

（1）证明：∵E是BC边的中点，
∴BC=2BE
∵BC=2AD，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形；
（2）△ABF为等腰三角形，理由是：
∵E、F分别是BC、CD边的中点，
∴EC=FC，
在△BCF和△DCE中，

CF＝CE

∠BCF＝∠ECD

BC＝CD

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF=ED，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF为等腰三角形．
（3）∵△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，
在△BPE和△DPF中，

∠FBC＝∠EDC

∠BPE＝∠DPF

BE＝DF

，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，
在△BPC和△DPC中，

BP＝DP

PC＝PC

BC＝CD

，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠QCD=∠BCP=(1)/(2)∠BCD=(1)/(2)×90°=45°．