如图，正方形ABCD中，AB=10，点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H，则下列结论中正确的是（）A．△GDC为等边三角形B．∠ADE=∠FCGC．sin∠DCG=45D．CG=FG+

Question

如图，正方形ABCD中，AB=10，点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H，则下列结论中正确的是（　　）

A．△GDC为等边三角形
B．∠ADE=∠FCG
C．sin∠DCG=(4)/(5)
D．CG=FG+EG

Answer 1

如图，正方形ABCD中，AB=BC=AD=10，
∵点E、F分别是边AB和BC的中点，
∴AE=BF=5，
在△ABF和△DAE中，

AB＝AD

∠DAE＝∠B＝90°

AE＝BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AF=DE，∠BAF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点M，连接CM交DE于N，
同理可得CM⊥DE，
∵M是AD的中点，F是BC的中点，
∴AF∥CM，
∴CM垂直平分DG，
∴CG=CD，
又DG＜AD，
∴CD=CG≠DG，
∴△GDC为等边三角形错误，故A选项结论错误；

由勾股定理得，AF=DE=√(102+52)=5√(5)，
∴S_△ADE=(1)/(2)×5√(5)AG=(1)/(2)×10×5，
解得AG=2√(5)，
∴FG=5√(5)-2√(5)=3√(5)，
∴FG≠FC，
∴∠FGC≠∠FCG，
∵∠FGC=∠GCN=∠DCN=∠ADE，
∴∠ADE≠∠FCG，故B选项结论错误；

∵AH=AGcos∠DAG=AGcos∠AED=2√(5)×(5)/(5√(5))=2，
∴HD=AD-AH=10-2=8，
过点G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，
∴sin∠DCG=(GK)/(CG)=(8)/(10)=(4)/(5)，故C选项结论正确；

∵FG=3√(5)，
EG=AG•tan∠BAF=2√(5)×(5)/(10)=√(5)，
∴FG+EG=3√(5)+√(5)=4√(5)，
∵CG=10，
∴CG≠FG+EG，故D选项结论错误．
故选C．