（2013•黄石模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F；（1）求证：AF=EF；（2）求tan∠ABF的值；（3）连接AC交BE于点G，求AG的长．

Question

（2013•黄石模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在E处，BE交AD于点F；
（1）求证：AF=EF；
（2）求tan∠ABF的值；
（3）连接AC交BE于点G，求AG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△EBD是由△CBD折叠而得，
∴ED=DC，BE=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BED=90°，
∴ED=AB，
∴∠ABF=∠EDF，
∵在△AFB与△EFD中，

∠BAD＝∠BED

AB＝ED

∠ABF＝∠EDF

，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF=EF；                        

（2）设AF=x，
∵AB=3，BC=BE=4，AF=EF
∴BF=4-x，
∵∠BAF=90°
∴AF²+AB²=BF²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=(7)/(8)，
∴tan∠ABF=(AF)/(AD)=((7)/(8))/(3)=(7)/(24)；

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC；
∴AC=√(AB2+BC2)=√(32+42)=5，
∴△AGF∽△CGB，
∴(AF)/(BC)=(AG)/(GC)，
设AG=m，则CG=5-m，
∴((7)/(8))/(4)=(m)/(5−m)，
解得m=(35)/(39)，即AG=(35)/(39)．