（2012•牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正

Question

（2012•牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD²=OD•DH中，正确的是（　　）

A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，

BF＝AE

∠B＝∠EAC

BC＝AC

，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
在HD上截取HK=AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK=AH，∠AKH=60°，
∴∠AKD=∠AHC=120°，
在△AKD和△AHC中，

∠AKD＝∠AHC

∠ADH＝∠ACH

AD＝AC

，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH=DK，
∴DH=HK+DK=AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH=OD：AD，
∴AD²=OD•DH．
故④正确．
故选D．