在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，如图所示，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：∠EAF=∠ACD；（3）猜想直线EF

Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，如图所示，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．

（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：∠EAF=∠ACD；
（3）猜想直线EF与直线CD的位置关系．

Answer 1

（1）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD=AE，
∵在△ABE和△ACD中，

AD=AE

∠BAE=∠CAD

AB=AC

，
∴△ABE≌△ACD，（SAS）；
（2）∵∠EAF+∠AEB=90°，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠EAF=∠ABE，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EAF=∠ACD；
（3）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，

∵在△ABE和△CAM中，

∠ABE=∠EAF

AB=AC

∠BAC=∠ACM

，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠AEB=∠M，
∵AE=EC，
∴EC=CM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠FCM=90-45°=45°=∠ACF，
在△EFC和△MFC中，

EV=MC

∠FCM=∠ECF

CF=CF

，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠FEC=∠M，
∴∠FEC=∠FCM，
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，

AB=AC

∠BAE=∠CAD

AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠ACD+∠FEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EF⊥CD．