宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星

Question

宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T₁；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T₂，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比(T1)/(T2)．

Answer 1

对于第一种形式：
星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r₁=(√(2))/(2)a
由万有引力定律和向心力公式得：
(Gm2)/(2a2)+2(Gm2)/(a2)cos45°=mr₁(4π2)/(T21)
解得：T₁=2πa√((2a)/((4+√(2))Gm))①
对于第二种形式：其轨道半径为r₂=(√(3))/(3)a
由万有引力定律和向心力公式得：
(Gm2)/(r22)+2(Gm2)/(a2)cos30°=mr₂(4π2)/(T22)
解得：T₂=2πa√((a)/(3(1+√(3))Gm)) ②
由①②解得：(T1)/(T2)=√((6+6√(3))/(4+√(2)))
答：星体运动的周期之比为√((6+6√(3))/(4+√(2)))．