用N个三角形最多可以把平面分成几个区域?像1个三角形可分成2个区域2个三角形分八个区域分析下接下来的N个三角形能分成几个区域,把思路写清楚,

Question

用N个三角形最多可以把平面分成几个区域?
像1个三角形可分成2个区域
2个三角形分八个区域
分析下接下来的N个三角形能分成几个区域,
把思路写清楚,

Answer 1

设n个三角形最多将平面分成an个部分.
n=1时,a1=2；
n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6（个）交点.这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2＝2＋2×3.
n＝3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12（个）交点,从而平面也增加了12个部分,即：a3=2＋2×3＋4×3.
……
一般地,第n个三角形与前面（n-1）个三角形最多有2（n-1）×3个交点,从而平面也增加2（n－1）×3个部分,故
an=2＋2×3＋4×3＋…＋2（n-1）×3
＝2＋〔2＋4＋…＋2（n-1）〕×3
＝2＋3n（n-1）＝3n^2-3n＋2.
例如
a6=92