以直代曲的思想是微积分的基础之一,那么这个思想本身得到证明麽?比如说当角度非常小的时候,弦长等于弧长.这个是直观的推测还是可以证明?请回答者不要说“去学高数来回答”.非常感谢

Question

以直代曲的思想是微积分的基础之一,那么这个思想本身得到证明麽?
比如说当角度非常小的时候,弦长等于弧长.这个是直观的推测还是可以证明?请回答者不要说“去学高数来回答”.
非常感谢匿名网友的精彩回答。就您讲的问题我想是这样的。第一：π的求法，必须要用到不断把圆分成多边形。然后值越来越趋近于某个值，这个时候，我们定义这个值为π。至于怎么证明周长与直径比是常数的过程我不了解。如果是用极限的方法证明的必然就是循环论证了。第二：三角函数的应用。如果我们在圆上取一段弧，对应一根弦。设圆心角为2a,那么弦长为2rsina，弧长为2ra,弧长与弦长的比为sina/a.或者说是sinx/x x趋近于0。当然结论我们都知道。但是sinx/x的证明恰恰是通过圆的面积图像来证明的，似乎有循环论证的嫌疑。

Answer 1

我认为可以用极限的定义证明.比如你做一个圆,则两条半径所夹的弧长和弦长可以用圆周公式和余弦定理求出,他们的差只和半径、半径的夹角有关,半径一定的时候可以证出夹角越小差越小,根据极限的定义就可以证明这时弦长...