求证An=（1+1/n)^(n+1)是单调递减数列.n是自然数可能答问者没有看清题目，是（1+1/n)的(n+1)次方。

Question

求证An=（1+1/n)^(n+1)是单调递减数列.n是自然数
可能答问者没有看清题目，是（1+1/n)的(n+1)次方。

Answer 1

构造函数：
f(x)=(1+1/x)^(x+1)
求导：
f'(x)={e^[(x+1)ln(1+1/x)]}'=e^[(x+1)ln(1+1/x)]*[ln(1+1/x)-1/x]
e^[(x+1)ln(1+1/x)]>0,且由常用函数不等式ln(1+1/x)<1/x(x>0)知
ln(1+1/x)-1/x<0;
故导函数f'(x)<0;函数f(x)在x>0时单调递减,故数列An=（1+1/n)^(n+1)是单调递减数列.n是自然数