设m，n∈N，f（x）=（1+2x）m+（1+x）n．（1）当m=n=2014时，若f（x）的展开式可表示为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014，求a0-a1+a2-…-a2014；（2）若f（x）展开式中x的系数是20，则当m，n取何值时，x2系

Question

设m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）当m=n=2014时，若f（x）的展开式可表示为f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄；
（2）若f（x）展开式中x的系数是20，则当m，n取何值时，x²系数最小，最小为多少？

Answer 1

（1）当m=n=2014时，f（x）=（1+2x）²⁰¹⁴+（1+x）²⁰¹⁴ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，
令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄=1．
（2）因为f（x）展开式中x的系数是2

C

1 m

+

C

1 n

=2m+n=20，
所以，n=20-2m，则x²的系数为 2²•

C

2 m

+

C

2 n

=4×(m(m−1))/(2)+(n(n−1))/(2)=4m²-41m+190，
所以当m=5，即n=10时，展开式中的x²系数最小，最小值为85．