由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度为v运动时，所受的流体阻力的大小可用公式f=6πηRv表示（η为流体的粘滞系数，球的体积

Question

由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度为v运动时，所受的流体阻力的大小可用公式f=6πηRv表示（η为流体的粘滞系数，球的体积公式是V=(4)/(3)πR3）．已知流体的粘滞系数η可能与流体的浓度有关．小球在流体中运动时速度越大，受到的阻力越大．那么密度为ρ、半径为R的小球在密度为ρ₀、粘滞系数为η的液体中由静止开始下落时的v-t图象如图所示，请推导出速度v_t的数学表达式：v_t=

(2R2g(ρ−ρ0))/(9η)

(2R2g(ρ−ρ0))/(9η)

．

Answer 1

小球在流体中下落时受重力、浮力和阻力的作用．
小球受到的重力：G=mg=ρVg=(4)/(3)πR³ρg，
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=(4)/(3)πR³ρ₀g，
小球所受流体阻力：f=6πηRv_r．
由图象可知，当小球速度达到v_r时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：(4)/(3)πR³ρg=(4)/(3)πR³ρ₀g+6πηRv_r．
化简可得：v_t=(2R2g(ρ−ρ0))/(9η)．
故答案为：(2R2g(ρ−ρ0))/(9η)．